多角形の面積：切って移すと公式の理由が見えてくる

多角形の面積公式は、数字と記号だけを覚えるより、図形を切って移したり、同じ形を二つ合わせたりすると理由が見えます。切れ端をなくさず、重ねず、すき間なく並べ替えれば、全体の面積は変わりません。この考えを使うと、平行四辺形は長方形へ、三角形や台形は二つ分の平行四辺形へ変形できます。ここでは、底辺と高さの見つけ方、なぜ2で割るのか、複雑な図形をどう分けるかを順に確かめます。

対象: 小学5年生 / 学び: 算数・図形・多角形の面積

平行四辺形は長方形へ組み替えられる

平行四辺形の面積を考えるときは、まず一つの辺を底辺と決めます。高さは、その底辺から向かい側の辺までの垂直な長さです。斜めの辺そのものではありません。平行四辺形の端にある三角形を切り取り、反対側へ移すと、底辺も高さも同じ長方形ができます。切れ端をなくしたり重ねたりしていないので、面積は変わりません。長方形の面積は縦×横ですから、平行四辺形も底辺×高さで求められます。図形が右へ大きく傾いても、底辺と高さが同じなら、組み替えた長方形は同じ大きさになり、面積も同じです。

三角形と台形で2で割る理由

底辺と高さが同じ三角形をもう一つ用意し、180度回してすき間なく合わせると、平行四辺形ができます。できた平行四辺形は三角形二つ分なので、底辺×高さで求めたあと、一つ分に戻すため2で割ります。台形も同じ考え方です。同じ台形を180度回して合わせると、底辺が『上底＋下底』、高さが元の台形と同じ平行四辺形になります。これも台形二つ分なので、（上底＋下底）×高さ÷2です。どちらの÷2も、辺が少ないからではなく、同じ図形二つ分から一つ分を取り出すために行います。

複雑な多角形は分けてから足す

家の形や階段の形のように、公式をそのまま一つ当てはめられない多角形は、知っている形へ分けます。例えば、横6cm・縦3cmの長方形の上に、底辺6cm・高さ2cmの三角形がある家形なら、長方形は6×3=18cm²、三角形は6×2÷2=6cm²です。重なりもすき間もないので、18+6=24cm²になります。分け方が違っても、同じ部分を二度数えたり、数え忘れたりしなければ答えは一致します。補助線を引いたら、各部分に必要な底辺と高さを書き込み、最後に足すのか引くのかを確かめると説明しやすくなります。

身近な例で考えてみよう

• 方眼紙に底辺6マス、高さ4マスの平行四辺形を描き、端の三角形を切って反対側へ動かすと、6×4の長方形になることを確かめます。
• 折り紙を対角線で二つに切ると同じ三角形が二つでき、合わせれば元の長方形に戻るため、三角形一つが長方形の半分だと分かります。
• 家の正面を長方形の壁と三角形の屋根に分け、壁の面積と屋根の面積を別々に求めて足すと、全体の面積を見積もれます。

よくある間違いと覚え方

• 平行四辺形の斜めの辺を高さとして使う間違いがあります。底辺に対して直角になる線を探し、直角の印を書いてから計算します。
• 三角形や台形で2で割り忘れることがあります。今求めた平行四辺形が同じ図形二つ分であることを図に色分けし、一つ分へ戻す÷2を書きます。
• 複合図形で部分を重ねて二度足したり、すき間を数え忘れたりすることがあります。補助線で重なりのない部分へ分け、各部分に番号を付けて確認します。

保護者の方へ

公式を答えられたら、『どの部分を切って、どこへ移すと長方形になる？』『÷2は何が二つ分だから？』と図を指しながら尋ねてみてください。計算の速さより、底辺と高さを正しく見つけ、組み替えや二つ分の図を言葉で説明できたことを認めると、暗記から理解へつながります。

ミニ問題

ゲームで確かめてみよう

ここまでの内容を、実際に「面積は、切っても逃げない」を操作しながら確かめてみましょう。

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